Intervalos de confianza unilaterales
Con referencia a la distribución normal estándar
En forma similar al caso considerado para el intervalo de confianza bilateral, se pueden obtener formulas para intervalos de confianza unilaterales que, con una probabilidad especificada, contengan a la media poblacional.
Estimación puntual de la media
Muestra pequeñas (n<30)
Consideremos la distribución T separando el area en tres partes. La porción central con area o probabilidad 1-a, y dos porciones simétricas a los lados con area o probabilidad a/2 cada una, siendo a un valor especificado.
Ejemplo
Se ha tomado una muestra aleatoria de 20 artículos producidos por una industria y se obtuvo que el peso de la media muestral fue 165 gr. con una desviación estándar de 40 gr. Encuentre el mayor error en la estimación de la media poblacional, con una confianza de 95%. Suponga que la población tiene distribución normal.
Estimación por intervalo para la media
Muestras pequeñas (n<30)
Ejemplo
De una población con distribución normal se tomó una muestra aleatoria de 4 observaciones obteniéndose: 9.4. 12.2, 10.7, 11.6. Encuentre un intervalo para la media poblacional, con un nivel de confianza de 90%.
Prueba de Hipótesis (n>=30)
Esta técnica estadística es muy utilizada como soporte a la investigación sistemática y científica, Consiste en suponer algún valor para el parámetro de interés y usar los datos de la muestra para aceptar o rechazar esta información.
Es importante entender las diferentes situaciones que pueden ocurrir al probar estadísticamente una hipótesis.
Sea Ho: alguna hipótesis que se propone para el parámetro de interés
Suponer que se dispone de datos y que se realiza una prueba estadística para verificar la hipótesis. Entonces pueden ocurrir las siguientes situaciones al tomar una decisión
El valor a se denomina nivel de significancia de la prueba u puede darse como un datos para realizar la prueba.
Ejemplo
El procedimiento se explica con el siguiente ejemplo, con lo cual resulta mas fácil entender dicho procedimiento.
Una muestra aleatoria de 100`paquetes mostro un peso promedio de 71.8 rg. con una desviación estándar de 8.9 gr. Pruebe, con un nivel de significancia de 5%, que el peso promedio de todos los paquetes (población) es mayor a 70 gr.
Prueba de Hipótesis (n<30)
El procedimiento es el mismo que con el caso de muestras grandes.
Ejemplo
De una población normal se tomó una muestra aleatoria y se obtuvo los siguientes resultados: 15, 17, 23, 18, 20. Probar con una significancia de 10% que la media de la población es mayora 18.
Valor P de una Prueba de Hipótesis
El valor-p de una prueba de hipótesis, o probabilidad de cola, es el valor de probabilidad correspondiente al área de la cola (o colas), a partir del valor del valor observado y representa el nivel de significancia obtenido con la muestra.
Si esta probabilidad es pequeña, es un indicativo de que los datos de la muestra no apoyan a la hipótesis nula propuesta pues el valor estadístico de prueba se ubica lejos del valor propuesto para el parámetro. Pero si esta probabilidad es grande, significa que los datos de la muestra favorecen a la hipótesis nula pues el valor del estadístico se ubica cerca del valor especificado para el parámetro.
Ejemplo:
Una muestra aleatoria de 100 paquetes mostro un peso promedio de 71.8 gr. con una desviación estándar de 8.9 gr. Pruebe que el peso promedio de todos los paquetes es mayor a 70gr. Exprese la respuesta mediante el Valor p de la prueba.
Inferencias relacionadas con la proporción
En muchas aplicaciones interesa conocer el valor de un índice, tasa, etc., la cual representa la proporción de datos que consideramos ¨favorables¨ del total de datos en la población.
En estas situaciones el modelo de probabilidad es la distribución binomial. Este modelo requiere conocer el valor de probabilidad de éxito p en cada ensayo. Por lo tanto, es de interés practico determinar o al menos estimar el valor de este parámetro poblacional p.
Caso n>=30
Estimación puntual de la proporción con probabilidad 1-a
Estimación por intervalo
Ejemplo:
En un estudio de mercado para un producto se tomó una muestra aleatoria de 400 personas de las cuales 140 respondieron favorablemente.
Prueba de hipótesis
El procedimiento se entenderá de mejor manera con el siguiente ejemplo
Ejemplo
La norma para la cantidad de artículos aceptables producidos por una fabrica es >= 90%. Se ha tomado una muestra aleatoria de 175 artículos y se encontraron 150 artículos aceptables. Pruebe con una significancia de 5% que no se esta cumpliendo la norma.
Inferencias relacionadas con la Varianza
Intervalo de confianza
para definir un intervalo de confianza, se sigue un procedimiento similar a otros paramtros. Definimos un intervalo central para la variables chi cuadrado con una probabilidad de 1-a, y la diferencia a se reparte a ambos lados en dos areas iguales con valor a/2.
Debido a que la distribución chi cuadrado es asimétrica, los valores de esta variable no tienen la misma distancia desde el centro y se lo puede observar en la siguiente imagen
Ejemplo:
En una muestra aleatoria se registró el peso de 10 paquetes y se obtuvieron los siguientes resultados en gramos: 46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 41.9, 45.2, 46.0. Encuentre un intervalo de confianza para la varianza para la varianza del peso de toda la producción, con un nivel de confianza de 95%. Suponga que la población tienen distribución normal.
PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE
Estas pruebas permiten verificar que la población de la cual proviene una muestra tiene una distribución especificada o supuesta.
Prueba JI-CUADRADO
Esta prueba es aplicable para variables aleatorias discretas o continuas.
Sea una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población con una distribución especificada fo(x) que es de interés verificar.
Suponer que las observaciones de la muestra están agrupadas en k clases, siendo n la cantidad de observaciones en cada clase. Con el modelo especificado fo(x) se puede calculas la probabilidad p que un datos cualquiera pertenezca a una clase i.
Con este valor de probabilidad se puede encontrar la frecuencia esperada ei para la clase i, es decir, la cantidad de datos que según el modelo propuesto deberían estar incluidos en la clase i.
Ejemplo
Se ha tomado una muestra aleatoria de 40 baterías y se ha registrado su duración en años. Estos resultados se los ha agrupado en 7 clases, como se muestra en el siguiente cuadro:
