Julio

DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES DISCRETAS

La distribución de probabilidades discretas estudian modelos matemáticos para calcular la probabilidad en algunos problemas típicos en los que intervienen variables aleatorias discretas.

El objetivo es obtener una formula matemática f(x) para determinar los valores de probabilidad de la variable aleatoria X.

**1.  DISTRIBUCION DICRETA UNIFORME
Una variable tiene una distribución discreta uniforme si cada uno de los resultados de su espacio muestral puede obtenerse con igual probabilidad.

EJEMPLO:

El gráfico de la distribución discreta uniforme tiene forma regular.

Media y varianza de la distribución discreta uniforme

EJEMPLO:

**2.  DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI

En un experimento estadístico en el que pueden haber únicamente dos resultados posibles. Es costumbre designar como "éxito" y "fracaso" aunque pueden tener otra representación y estar asociados a algún otro significado de interés.
Si la probabilidad de obtener "éxito" en cada ensayo es un valor que o represente con p , entonces, la probabilidad de obtener "fracaso" será el complemento q=1-p.

El experimento puede repetirse y en cada ensayo el valor de probabilidad p se mantiene constante. Se supondrá también que los ensayos son independientes, es decir el resultado de un ensayo no afecta a los resultados de los otros ensayos.
EJEMPLO:

**3.  DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Esta distribución es muy importante y de uso frecuente. Corresponde a experimentos con características similares a un experimento Bernoulli, pero ahora es de interés la variable aleatoria relacionada con la cantidad de éxitos que se obtienen en un experimento.

Características de un experimento Binomial

1. La cantidad de ensayos n, que se realiza es finita.
2. Cada ensayo tiene únicamente dos resultados posibles
3. Todos los ensayos realizados son independientes.
4. La probabilidad p. de obtener éxito en cada ensayo es constante

EJEMPLO

NOTACIÓN:

Media y varianza de la distribución Binomial

EJEMPLO

**4.  DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA

Este modelo de probabilidad tienen características similares al modelo binomial:

1. La cantidad de ensayos n, que se realiza es finita.
2. Cada ensayo tiene únicamente dos resultados posibles
3. Todos los ensayos realizados son independientes.
4. La probabilidad p. de obtener éxito en cada ensayo es constante.

Pero, en este modelo la variable aleatoria es diferente:

"EN LA DISTRIBUCION BINOMIAL NEGATIVA, LA VARIABLE DE INTERES ES LA CANTIDAD DE ENSAYOS QUE SE REALIZAN HASTA OBTENER UN NUMERO REQUERIDO DE ESXITOS."

EJEMPLO:

Media y varianza de la distribución Binomial Negativa

**5.  DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

Es un caso especial de la distribución binomial negativa, cuando k=1. Es decir interesa conocer la probabilidad respecto a la cantidad de ensayos que se realizan hasta obtener el primer éxito.

Media y varianza de la distribución Geométrica

EJEMPLO

**6.  DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Esta distribución se refiere a los experimentos estadísticos que consisten en tomar una muestra sin reemplazo, de un conjunto finito el cual contiene algunos elementos considerados éxitos y los restantes son considerados fracasos.

Tomar una muestra sin reemplazo significa que los elementos son tomados uno a uno, sin devolverlos. Podemos concluir entonces que los ensayos ya no pueden ser considerados independientes porque la probabilidad de éxito al tomar cada nuevo elemento es afectada por el resultado de los ensayos anteriores debido a que la cantidad de elementos de la población esta cambiando.

EJEMPLO

Media y varianza de la distribución Hipergeométrica

EJEMPLO

**5.  DISTRIBUCIÓN DE POISSON

La distribución de Poisson es un modelo que puede usarse para calcular la probabilidad correspondiente al numero de éxitos que se obtendrían en una región o en intervalo de tiempos especificados, si se conoce el numero promedio de éxitos que ocurren.

Este modelo requiere que se cumplan las siguientes suposiciones:

• a) El número de éxitos que ocurren en la region o intervalo es independiente de o que ocurre en otra region o intervalo.
• b) La probabilidad de que un resultado ocurra en una region o intervalo muy pequeño, es igual para todos los intervalo o regiones de igual tamaño y es proporcional al tamaño de a region o intervalo.
• c) La probabilidad de que mas de un resultado ocurra en una región o intervalo muy pequeño no es significativa.

Ejemplo:
La cantidad de errores de transmisión de datos en una hora es 5 en promedio. Suponiendo que es una variable con distribución de Poisson, determine la probabilidad que:
a) En cualquier hora ocurra solamente un error.
b) En cualquier hora ocurran al menos 3 errores.
c) En dos horas ocurran no mas de 2 errores.

MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCION DE POISSON.

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Las variables aleatorias continuas definen reglas de correspondencia entre los resultados obtenidos en experimentos cuyos valores se miden en una escala continua y el conjunto de los números reales.

Función de Densidad de Probabilidad

La probabilidad de un variables aleatoria continua puede especificarse si existe una función de densidad de probabilidad, tal que el area debajo de la grafica sea una función que cumpla los requisitos para que sea una medida del valor de probabilidad.

Representación Grafica

Propiedades de una función de Densidad de Probabilidad

Ejemplo:

Función de Distribución
Al igual que en el caso discreto se puede definir una función de probabilidad acumulada, la cual en el caso continuo se denominara función de distribución.

Propiedades de la función de Distribución:

Ejemplo:

Media y varianza de variables aleatorias Continuas

Ejemplo:
Calcule la media y la varianza para el ejemplo de la estación de servicio en donde X es una variables aleatoria continua que representa el tiempo de atención en horas, siendo su densidad de probabilidad:

Propiedades de la media y la varianza

Valor esperado de expresiones con una variable aleatoria continua

Estas variables también son variables  aleatorias y su dominio es el mismo que el dominio de la variable original. El rango puede ser diferente.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS

En esta sección se estudio algunos de los modelos mas importantes para calcular la probabilidad en algunos problemas típicos en los que intervienen variables aleatorias continuas.

El objetivo es obtener una formula matemática f(x) para determinar los valores de probabilidad de la variable aleatoria X.

** 1) Distribución Uniforme Continua

Este modelo corresponde a una variable aleatoria continua cuyos valores tienen igual valor de probabilidad en un intervalo especificado para la variable.

Media y varianza de la Distribución Uniforme Continua

Ejemplo:
Cuando falla cierto componente de una máquina, esta debe detenerse hasta que sea reparado. Suponiendo que el tiempo de reparación puede tomar valor entre 1 y 5 horas.
Calcule las siguientes probabilidades:

** 2) Distribución Normal

La distribución Normal es la piedra angular de la teoría estadística moderna. Conocida y estudiada desde hace mucho tiempo, es utilizada para describir el comportamiento aleatoria de muchos procesos que ocurren en la naturaleza y también realizados por los humanos.

Distribución Normal Estándar

Para generalizar y facilitar el cálculo de probabilidad con la distribución Normal, es conveniente definir la DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR que se obtiene haciendo u=0 y en la función de densidad de la Distribución Normal.

Ejemplo
Usando la Tabla de la Distribución Normal Estándar calcule:

Estandarización de la Distribución Normal

Si una variable tiene distribución Normal, mediante una sustitución se la puede transformar a otra variable con distribución Normal Estándar. Este cambio de variable facilita el calculo de probabilidad y se denomina estandarización de la distribución de la variable.

Ejemplo:

La duración de un evento tiene distribución Normal con media 10 y varianza 4. Encuentre la probabilidad que el evento dure:

a) Menos de 9 horas

b) Entre 11 y 12 horas

DISTRIBUCION DE PROBABILIDA CONJUNTA

Algunos experimentos estadísticos pueden incluir mas de una variable aleatoria las cuales actúan en forma conjunta, y es de interés determinar la probabilidad correspondiente a los diferentes valores que estas variables pueden tomar.

1) Caso Discreto Bivariado
           Distribución de probabilidad conjunta
Sean      X, Y variables aleatorias discretas
             x, y valores que pueden tomar X, Y
Su función de distribución de probabilidad conjunta se describe f(x, y) y describe el valor de probabilidad en cada punto P(X=x, Y=y).
Satisface as siguientes propiedades

• f no puede tomar valores negativos
• La suma de todos los valores de f debe ser 1
• f debe ser un modelo para calculas probabilidad

             Distribución de Probabilidad Acumulada Conjunta

Ejemplo:

Distribución de probabilidad marginal

Cuando se estudian mas de una variable aleatoria en forma conjunta, puede ser de interés conocer la distribución de probabilidad de las variables aleatorias individualmente. Estas funciones se denominan distribuciones marginales.

Ejemplo:

Distribución de probabilidad Condicional

2) Caso Continuo Bivariado
Algunos experimentos estadísticos pueden incluir mas de una variable aleatoria continua, las cuales pueden actuar en forma conjunta, y es de interés determinar la probabilidad correspondiente a los valores que estas pueden tomar.
       Densidad de probabilidad Conjunta

Ejemplo:

Densidad de Probabilidad Marginal

Cuando se estudian mas de una variable aleatoria en forma conjunta, puede ser de interés conocer la distribución de probabilidad de las variables aleatorias individualmente. Estas funciones se denominan distribuciones marginales.

MUESTREO ESTADISTICO

El muestreo estadístico es un procedimiento para obtener datos de una población con la finalidad de usar esta información para realizar inferencias acerca de dicha población mediante las técnicas que se estudian en Estadística Inferencial.

Las muestras son subconjunto de los datos. El conjunto de todas las muestras que se pueden obtener de la población se denomina espacio muestral.

El muestreo estadístico se basa en el principio de equiprobabilidad, es decir que cada individuo de la población tiene la misma probabilidad de ser elegido. Consecuentemente, cada muestra también tendrá la misma probabilidad de ser seleccionada.

Para obtener conclusiones y evidencias comprobatorias suficientes, el investigador no esta obligado a examinar todos y cada uno de los individuos o muestras de una población. Solamente debe examinar una muestra representativa de dicha población.

Técnicas de selección de muestras:

Distribución de Muestreo

En esta sección se establecio algunas deficiones y términos relacionados con el estudio de la Estadística Inferencial que constituye el componente fundamental del estudio de la Estadística.

Una inferencia estadistica es un afirmacion que se hace acerca de algun parametron de la poblacion utilizando la informacion contenida en una muestra tomada de esa poblacion.

Debemos aceptar que por la naturaleza aleatoria de los datos obtenidos en la muestra, hay un riesgo en la certeza de la afirmacion propuesta, y es necesario establecer una medida para determinar la magnitud del riesgo.

Distribucion de muestreo de la media muestral

En esta seccion se estudio las propiedades de la distribucion de probabilidad de la Media Muestral.

Corrección de la varianza

Si el tamano N de la poblacion es finita y este numero no es muy grande con respecto al tamano n de la muestra, se debe usar la siguiente formula para corregir la varianza muestral, la cual se aplica si el tamano de la muestar es mayor al 5% del tamano de la población.

Media muestral de una poblacion Normal

Ejemplo:

Un fabricante especifica la duracion de sus baterias, tiene Distribucion NOrmal con media 36 meses y desviacion estandar 8 meses. Calcule la probabilidad que una muestra aleatoria de 9 baterias tenga una duracion media menor o igual que 30 meses

Teorema del limite central

El siguiente enunciado es uno de los mas importantes teoremas de la Estadistica Inferencial

Ejemplo

Un fabricante especifica que cada paquete de su producto tiene un peso promedio de 22.5 gr, con una desviacion estandar de 2.5gr. Calcule la probabilidad que una muestra aleatoria de 40 pauqetes de este producto tenga un peso promedio menor o igaul que 20 gr.

1. LA DISTRIBUCIÓN T

La distribucion T o de Student es una function de probabilidad con forma tipo campana simetrica,su aplicacion mas importante se describe:

Suponer que se toma una muestra aleatoria de tamano n<30 de una poblacion con distribucion normal con media u y varianza desconocida. En este caso ya no se puede usar la variable aleatoria z, en su lugar debe usarse otro estadistico, denominado T o de Student.

Este estadistico es util cuando por consideraciones practicas no se puede tomar una muestra aleatoria grande y se deduce la varianza poblacion. Pero es necesaria que la poblacion tenga distribucion normal.

Ejemplo:

Una poblacion con distribucion aproximadamente normal tiene una media especifica de 5.2 siendo su varianza desconocida.Calcule la probabilidad que una muestra aleatoria de tamano 6 tenga una media mayor o igual a 6.5 con una desviacion estandar de 0.5.

2. La distribucion Ji-Cuadrado

Esta distribucion se la obtiene de la distribucion gamma. Tiene una froma tipo campana con sesgo positivo. Se puede demostrar que si x es una variables aleatoria con distribucion normal, entonces x^2 es una variables aleatoria con distribucion ji-cuadrado.

Este hecho explica a la importancia de la distribucion ji-cuadrado en problemas de muestreo de poblaciones con distribucion normal.

Ejemplo:

Una población con distribucion aproximadamente normal tiene varianza especificada de 0.8. Calcule la probabilidad que una muestra aleatoria de tamano 6 tenga una varianza mayor o igual a 1.2

3. Distribucion F

Esta distribución es util para realizar inferencias con las varianzas de dos poblaciones normales usando los datos de las varianzas de dos muestras aleatorias independientes con la siguiente distribución:

ESTADISTICA INFERENCIAL

Métodos de inferencia estadística

INFERENCIAS RELACIONADAS CON LA MEDIA

Estimación puntual de la media

Muestras Grandes (n>=30)

Consideremos la distribución normal estándar separando e area en tres partes. La porción central con área o probabilidad 1-a, y dos porciones simétricas a los lados con área o probabilidad a/2 cada una, siendo a un valor especificado.

Ejemplo

Se ha tomado una muestra aleatoria de 50 artículos producidos por una industria y se obtuvo que el peso de la media muestral fue de 165 gr. con una desviación estándar de 40 gr. Encuentre el mayor error en la estimación de la media poblacional, con una confianza de 95%.

Tamaño de la muestra

La formula anterior se puede usar para estimar el tamaño de la muestra para que el error no exceda a cierto valor con probabilidad especificada.

Ejemplo

Se conoce que la varianza de una población es 20. Determine cual debe ser el tamaño de la muestra para que el error máximo en la estimación de la media poblacional mediante la media muestral no exceda de 1 con una probabilidad de 99%.

Estimación por intervalo

Muestras Grandes (n>=30)

Ejemplo

Se ha tomado una muestra aleatoria de 50 artículos producidos por una industria y se obtuvo que la media muestral del peso de los artículos fue de 165 gr. con una desviación estándar de 40gr. Encuentre un intervalo para la media poblacional, con un nivel de confianza de 98 %.