Junio

MIERCOLES  01 DE  JUNIO DEL  2016.

================PRUEBA BIMESTRAL====================

LUNES  06 DE  JUNIO DEL  2016.

EXPERIMENTO ESTADISTICO

Definido como un procedimiento que se realiza con el propósito de obtener observaciones para algún estudio de interés  .

Entre las características mas importantes a resaltar acerca del experimento estadístico se tiene:

• Se conocen los resultados posibles antes del experimento.
• No se puede predecir el resultado de cada ensayo.
• Debe poderse repetir el experimento en condiciones similares.
• Se puede predecir un patrón durante el desarrollo del experimento.

Ejemplos claros de experimentos son: el lanzamiento de una moneda , dados , medir la estatura de una persona u observar la fabricación de un producto.

MIERCOLES  08 DE  JUNIO DEL  2016.

ESPACIO MUESTRAL (S)

Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Cada elemento de S se denomina Punto Muestral. Según la naturaleza del experimento, los puntos muestrales pueden determinar que S sea discreto o continuo.

**Discreto.- si sus elementos pueden ponerse en correspondencia con los números naturales. En este caso S puede se finito o infinito.

**Continuo.- si los resultados corresponden a algún intervalo de los números reales. En este caso S es infinito por definición.

EVENTOS

Un evento se puede definir como un subconjunto del espacio muestral S , se denota con letras mayúsculas A , B ,...Z. Otra forma de denotarse es utilizando la letra E1, E2 ,E3 ,etc.

Evento nulo: No contiene resultados (puntos muestrales)

Evento simple: Contiene un solo resultado (punto muestral)

Eventos excluyentes: Eventos que no contienen resultados comunes

σ-ALGEBRA (sigma álgebra).

El soporte matemático natural para el estudio de las propiedades de los eventos es la Teoría de Conjuntos. Pero existe un álgebra formal específica para su estudio denominada σ-Algebra.

σ-Algebra A es una colección no vacía de subconjuntos de S tales que:

1) S ∈ A

2) Si A ∈ A, entonces A^C ∈ A

3) Si A1, A2, ... ∈ A, entonces:

En resumen una σ-Algebra  incluye a S, a sus subconjuntos y es cerrada con respecto a la operación de unión de conjuntos.

PROBABILIDAD DE EVENTOS

El valor de la probabilidad de un evento es una medida de la certeza de su realización.

Sea A un evento, entonces P(A) mide la probabilidad de que el evento A se realice.

"Sea A un evento , entonces P(A) mide la probabilidad de que el evento A se realice ".
Luego:

• P(A)=0 , es la certeza de que no se realizara.
• P(A)=1 , es la certeza de que si se realizara.
• P(A)=1/2 , indica que existe la posibilidad de que se realice o no se realice.

Asignación de valores de probabilidad a eventos

1) Empírica.- Es la proporción de veces que un evento tuvo el resultado esperado respecto al total de

intentos realizados.

2) Mediante modelos matemáticos.- Para muchas situaciones de interés puede construirse modelos matemáticos con los cuales se puede determinar la probabilidad de eventos, tanto para variables discretas como continuas.

3) Asignación clásica.-Su origen es la Teoría de Juegos. El valor de probabilidad de un evento es la relación entre la cantidad de resultados que se consideran favorables para el evento de interés, respecto al total de resultados posibles (Espacio Muestral).

Definición: 

Sean: S: Espacio muestral

A: Evento de interés .

Si N(S) y N(A) representan la cardinalidad (número de elementos)

Entonces la probabilidad del evento A es: P(A)=N(A) /N(S) 

Probabilidad de Eventos Simples

La cual se caracteriza porque incluye un solo punto muestral por lo que un evento cualquiera A de S puede considerarse como la unión de sus eventos simples.

EJEMPLO:

AXIOMAS DE PROBABILIDAD DE EVENTOS

Con la finalidad de facilitar la resolución de problemas y basándose en la definición de probabilidad , se definieron los siguientes axiomas:

Sea S: Espacio muestral

E: Evento de S

P(E): Probabilidad del evento E

R: Conjunto de los reales

P una función que asocia a cada evento E de S un número real

Función de Probabilidad de un Evento

P: S→ R

E → P(E), dominio P = S, rango P = [0, 1]

P se denomina Función de Probabilidad de un Evento y cumple los siguientes axiomas:

1) P(E) ≥ 0

 ''indica que la probabilidad de un evento no puede tener valores negativos''.

2) P(S) = 1 

''establece que la probabilidad de que un resultado pertenezca al espacio, muestral es 1, lo cual es evidente pues S contiene todos los resultados posibles''

3) E1, E2 ∈ S ∧ E1 ∩ E2 = ∅ ⇒ P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2)

 ''establece que si dos eventos son mutuamente excluyentes entonces la probabilidad del evento que resulta de la unión de estos eventos, es la suma de las probabilidades de ambos eventos''

PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD DE EVENTOS

Con los axiomas establecidos se pueden demostrar algunas propiedades de interés, para los eventos de un espacio muestral S.

Axiomas de probabilidad

a) Probabilidad de un Evento Nulo: 

P(∅) = 0

b) Probabilidad del Evento Complemento: 

c) Probabilidad de Eventos Incluidos: 

Si A ⊂ B, entonces P(A) ≤ P(B)

d) La probabilidad de un Evento está entre 0 y 1: 

0 ≤ P(E) ≤ 1

e) Probabilidad de la Diferencia de Eventos:

f) Regla Aditiva de Probabilidad de Eventos:

Como aplicación de los axiomas y propiedades estudiadas se realizo el siguiente ejemplo de aplicación

LUNES  13 DE  JUNIO DEL  2016.
A mas de lo estudiado se definió PROBABILIDAD CONDICIONAL como :

Como la probabilidad donde el evento A depende del evento B , es decir que gráficamente:



EJEMPLO:

En la siguiente tabla se ha escrito simbólicamente el número de elementos de cada evento, siendo N el total de elementos del espacio muestral.

EVENTOS INDEPENDIENTES:
''Sean A y B eventos cualesquiera de un espacio muestral definido como S. Se dice que A y B son independientes si P(A I B)=P(A) Y P(B I A)=P(B) , lo que significa que el evento A no depende del evento B y el evento B no depende del A''.
Por lo tanto de forma resumida se tiene que :

EJEMPLO:

REGLA MULTIPLICATIVA DE LA PROBABILIDAD:

Es aplicable siempre y cuando A Y B sean eventos no nulos del espacio muestral S.

Gráficamente se representa como :

EJEMPLO

MIERCOLES  15 DE  JUNIO DEL  2016


PROBABILIDAD TOTAL


Existen situaciones en las cuales varios eventos intervienen en la realización de algún otro evento del mismo espacio muestral.

Sean B1, B2, ... ,BK eventos mutuamente excluyentes en S y que constituyen una partición de S, es decir, cumplen las siguientes propiedades:

a) ∀i,j (Bi∩Bj = ∅,  i ≠ j) (Los eventos son mutuamente excluyentes)

b) B1∪B2∪ ... ∪BK = S (La unión de todos estos eventos es S)

Sea A un evento cualquiera de S La realización de A depende de los eventos B1, B2, ... ,BK

ADEMAS SE CUMPLE QUE:

PARA LA RESOLUCION DE LOS PROBLEMAS:

EJEMPLOS:

TEOREMA DE BAYES

EJEMPLO

LUNES  20 DE  JUNIO DEL  2016

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

El objetivo es proporcionar reglas que nos permitan establecer correspondencias de los elementos del espacio muestral S con los números reales para luego asignarles un valor de probabilidad.

Las Variables Aleatorias establecen correspondencia del espacio muestral S al conjunto de los números reales. Esta correspondencia es funcional y se la puede definir formalmente.

EJEMPLO:

En un experimento se lanzan tres monedas y se observa el resultado (c: cara o s: sello). El conjunto de posibles resultados (espacio muestral) para este experimento, es el siguiente:

S = {( c, c, c),( c, c, s),( c, s, c),( s, c, c),( c, s, s),( s, c, s),( s, s, c),( s, s, s)}

a) Describa con una variable, el número de sellos que se obtienen.

Los posibles resultados se los puede representar con una variable. Si X es ésta variable, entonces se dice que X es una variable aleatoria:

X: Variable aleatoria (número de sellos que se obtienen)

Al realizar el experimento, se obtendrá cualquier elemento del espacio muestral S. Por lo tanto, la variable aleatoria X puede tomar alguno de los números: x = 0, 1, 2, 3.

b) Tabule la correspondencia que establece la variable aleatoria X.

Las variables aleatorias pueden representarse con las letras mayúsculas X, Y, ... Para un mismo espacio muestral S pueden definirse muchas variables aleatorias.

Para el ejemplo de las 3 monedas, algunas otras variables aleatorias sobre S pueden ser:

Y: Diferencia entre el número de caras y sellos

Z: El número de caras al cubo, mas el doble del número de sellos, etc.

Para cada variable aleatoria el rango es un subconjunto de los reales. Según el tipo de correspondencia establecida, las variables aleatorias pueden ser:

•  Discretas 
•  Continuas.

En el ejemplo de las monedas, X es una variable aleatoria discreta pues su rango es un subconjunto de los enteros. Además es finita.

MIERCOLES 22 DE  JUNIO DEL  2016

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.

Cada valor de una variable aleatoria discreta puede asociarse a un valor de probabilidad.

DEFINICION:

Sea X: Variable aleatoria discreta

Entonces, P(X=x) representa la probabilidad que la variable X tome el valor x.

La correspondencia que define P(X=x) es una función y se denomina Distribución de Probabilidad de la variable aleatoria X. Esta correspondencia puede definirse formalmente y ser designada con la notación f.

Sean X: Variable aleatoria discreta
f(x) = P(X=x): Probabilidad que X tome el valor x. Entonces, la correspondencia f: X → R,

x → f(x) = P(X=x), dom f = X, rg f ⊂ [0, 1]

f es una función de probabilidad, por lo tanto su rango está en el intervalo [0, 1].

PROPIEDADES

EJEMPLO:

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULADA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.

EJEMPLO:

VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.

El Valor Esperado o Media es una medida estadística que describe la tendencia central de una variable aleatoria. Representa el valor promedio que tomaría la variable aleatoria si el experimento se realizara un gran número de veces en condiciones similares.

EJEMPLO:

LUNES 27 DE  JUNIO DEL  2016

VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Es una medida estadística que cuantifica el nivel de dispersión o variabilidad de los valores la variable aleatoria alrededor de la media.

DEFINICIÓN:

Sea X: Variable aleatoria discreta

f(x): Distribución de probabilidad

μ, o E(X): Media o Valor Esperado de la variable aleatoria X

Entonces:

EJEMPLO:

Formula para calcular la  varianza.

Propiedades

a, b ∈ R: Números reales cualesquiera.

Corolarios

El segundo corolario muestra que si el resultado de un experimento es un valor constante entonces la varianza (o variabilidad), es nula.

UNICIDAD DE FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

DEFINICIÓN:

X, Y Variables aleatorias discretas.

f(x), f(y) Distribuciones de Probabilidad de X, Y respectivamente.

Mx(t), My(t) Funciones Generadoras de Momentos de X, Y respectivamente.

Si Mx(t) = My(t) entonces f(x) = f(y)

Si dos variables aleatorias tienen funciones generadoras de momentos idénticas, entonces tienen idénticas funciones de distribución de probabilidad. 

TEOREMA DE CHEBYSHEV

Este teorema establece un valor mínimo para la probabilidad de una variable aleatoria en un intervalo alrededor de la media, independientemente de su función de probabilidad. 

El valor que se obtiene es únicamente una referencia.

DEFINICIÓN:

Sea X una variable aleatoria discreta con media μ y varianza σ2

X tome un valor dentro de k desviaciones estándar σ^2 de su media μ, es al menos 1 – 1/k^2

EJEMPLO

MIERCOLES 29 DE  JUNIO DEL  2016

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS

Se estudiaran los modelos matemáticos para calcular la probabilidad en algunos problemas típicos en los que intervienen variables aleatorias discretas. El objetivo es obtener una fórmula matemática f(x) para determinar los valores de probabilidad de la variable aleatoria X.

DISTRIBUCIÓN DISCRETA UNIFORME

Una variable aleatoria tiene distribución discreta uniforme si cada uno de los resultados de su espacio muestral tiene puede obtenerse con igual probabilidad.

DEFINICIÓN:

Sean X: Variable aleatoria discreta

x = x1, x2, x3, ..., xn Son los n valores que puede tomar X con igual probabilidad

Entonces la distribución de probabilidad de X es:

EJEMPLO